Уравнение движения и закон движения заряженной частицы в однородном магнитном поле

Рис. 1. Движение заряженной частицы в однородном магнитном поле.

Найдем уравнение движения частицы заряда q и массы m, которая движется в однородном магнитном поле напряженностью B. Пусть в начале движения вектор скорости частицы направлен параллельно оси y декартовой системы координат и лежит в плоскости xy, а вектор поля по оси z (см. рис.1), .

На частицу действует только сила Лоренца [1] (всеми другими силами пренебрегаем), которая согласно второму закону Ньютона определяет ее ускорение :

В проекциях на оси координат это уравнение записывается как

(1),

где (как мы увидим позже, это обозначение выбрано неспроста, ибо эта комбинация величин играет роль круговой частоты вращения частицы).

Последнее уравнение для a_z, очевидно, определяет равномерное и прямолинейное движение, для простоты можно положить v_z=0, то частица не движется вдоль оси z.

Остается система из двух линейных дифференциальных уравнений для проекций скорости:

(2)

Его решение – закон движения. Для решения воспользуемся методикой, описанной в [2].

Введем матрицу A, содержащую коэффициенты перед v_x, v_y в правой части системы:

Общее решение системы (2) представляет собой сумму

, (3)

где -собственные вектора (от eigenvector – собственный вектор, англ), матрицы A, соответствующие собственным значениям λ_i, а С_i – некоторые постоянные.

Составим характеристическое уравнение для λ. Для этого нужно приравнять нулю определитель матрицы A, из которой вычтена матрица вида

Этот определитель имеет вид

Откуда получаем уравнение для λ вида. Оно легко решается, .

Теперь нужно найти собственные вектора матрицы A. Для этого нужно найти решение системы уравнений вида

где (a, b) – компоненты собственного вектора, а на место λ нужно подставить каждое из полученных решений.

Подставляем первое решение , получаем

, .

Определитель системы равен нулю, поэтому решение системы представляет собой бесконечное множество пар чисел a, b, связанных соотношением , которое следует из каждого из двух уравнений последней системы.

Можно выбрать одну пару, например, так:

Можно найти собственный вектор и для второго значения , но проще воспользоваться тем фактом, что полученный вектор будет комплексно сопряжен с первым. В этом случае пользуются следующей методикой. Подставим полученный собственный вектор в выражение (3) и получим частное решение уравнения (2).

Общее решение системы (2) выражается в этом случае в виде суммы частных решений с некоторыми коэффициентами

где

Таким образом, получаем, что

Остается найти значения коэффициентов C_1,2. Для этого воспользуемся начальными условиями

из которых получаем

Проанализируем решение. Во-первых, видно, что проекции скорости на оси x,y изменяются периодически с круговой частотой ω, во вторых, можно заметить, что , а это значит, что модуль вектора скорости не зависит от времени, иными словами, кинетическая энергия частицы сохраняется, что, в принципе, было ожидаемым результатом, поскольку магнитное поле является потенциальным.

Теперь, зная решение уравнений для скоростей, перейдем к решению уравнений для координат. Эта система записывается как.

(4).

Эти уравнения независимы друг от друга, поэтому их можно решать по отдельности.

Они являются уравнениями с разделяющимися переменными и легко интегрируются

после чего получаем решения – закон движения

Константы C_1,2 можно получить из начальных условий, но мы вместо задания начальных условий, выясним смысл констант C_1,2 и траекторию движения частицы.

Для этого заметим, что

или, в другой записи

(5).

Соотношение (5), как следует из аналитической геометрии [3], определяет окружность, центр которой расположен в точке (C₁, C₂) плоскости xy. Радиус этой окружности равен . Как и в случае изменения проекций скоростей, координаты меняются периодически с круговой частотой ω. Поскольку под знаком синуса (или косинуса) стоит величина ωt, период этого колебания можно найти из соотношения ωT=2 π, значит .

Интересно заметить, что соотношение типа появляется и в других задачах, в которых уравнения Ньютона записываются в виде (2). Сюда относятся и движение планет вокруг Солнца под действием сил тяготения, и, скажем, круговое движение тела, привязанного за веревку.

Можно добавить в систему условие, при котором существует начальная проекция скорости v_z₀ частицы вдоль оси z, но при этом вид третьего уравнения системы (1) не изменится, в систему (2) добавится уравнение . Решением будет , т.е. как будто частица движется вдоль оси z, не замечая силы Лоренца. Общее движение частицы в этом случае будет суммой вращательного движения в плоскости, параллельной xy и равномерного движения вдоль z, т.е. винтовая линия. Шаг h этой винтовой линии равен произведению периода кругового движения на скорость v_z₀, т.е.

Литература.

1. Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, Теория поля изд. 3, стр. 73 (пар. 22, «Движение заряда в постоянных однородных электрическом и магнитном полях»), Государственное изд. физико-математической литературы, Москва 1960.

2. Филиппов А.Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям, стр. 91-98 (пар. 14, «Линейные системы с постоянными коэффициентами»), изд. Интеграл-пресс, 1998.

3. Крутицкая Н.И., Тихонравов А.В., Шишкин А.А., Аналитическая геометрия и линейная алгебра с приложениями, стр. 80 (гл. IV, пар. 1, «Эллипс»), изд. МГУ, 1991.