Область замкнутых силовых линий в магнитосфере содержит энергичные электроны, протоны и более тяжелые ионы в энергетическом интервале от нескольких кэВ до сотен МэВ (для протонов) и называется радиационным поясом (поясами) Земли. Частицы радиационных поясов захвачены геомагнитным полем и оставались бы в нем неопределенно долго, если бы не действие механизмов диффузии, ускорения и потерь.

Многие динамические процессы, поддерживающие существование радиационных поясов, в основном известны. Мелкомасштабные флуктуации электрического и магнитного полей вызывают радиальную диффузию этих частиц. Поскольку чисто диффузионный поток направлен при этом радиально к Земле, т.е. в область более высокой напряженности магнитного поля, частицы в дальнейшем ускоряются под действием бетатронного механизма. Наряду с этим резонансное взаимодействие низкоэнергичных частиц (осциллирующих и прецессирующих в геомагнитном поле) с гидромагнитными и ОНЧ-волнами вызывает диффузию вдоль магнитных силовых линий. Новый поток направлен от вершины силовой линии на экваторе к ее корням в атмосфере. Таком механизм диффузии по питч-углам. Когда захваченная частица высыпается в атмосферу, она быстро теряет свою энергию на ионизацию окружающей среды и таким образом выходит из состава радиационных поясов. Поэтому очевидно, что диффузия по питч-углам управляет механизмом потерь этих частиц.

Менее очевиден следующий факт: частицы и волны настолько эффективно взаимодействуют во внешней магнитосфере, что их потоки взаимозависимы. Например, если поток частиц возрастает выше определенного предела, волны усиливаются так, что соответствующее увеличение диффузии по питч-углам приводит к высыпанию из радиационного пояса избыточных частиц. Экспериментальные результаты говорят, что значения потоков частиц во внешней магнитосфере никогда не превышают пределов, определяемых взаимодействием волн с частицами. [1]

Взятые вместе, вышеперечисленные факты говорят о важности знания питч-углового распределения для уточнения механизмов потерь частиц, как во внешней магнитосфере, так и во внутренней, где одним из важнейших внешних факторов является атмосфера Земли.

При рассмотрении движения частицы или ее ведущего центра вдоль выделенной силовой линии можно использовать сохранение магнитного момента

(1)

Где и - питч-угол и модуль магнитного поля на широте ; и - питч-угол и модуль магнитного поля в начальной точке, вообще говоря, произвольной, за которую можно выбрать экватор. В данном соотношении предполагается постоянство скорости вдоль силовой линии. Если инжектировать частицу с питч-углом в точку, где напряженность поля , она будет навиваться на силовую линию, двигаясь вдоль последней со скоростью, определяемой выражениями

(2)

Если частица перемещается в область большей напряженности магнитного поля, то будет уменьшаться. Когда она достигнет точки, где поле имеет величину

(3)

параллельная составляющая скорости обратится в нуль. В этом случае движение частицы происходит только в направлении, перпендикулярном полю, и ее питч-угол равен . Кроме того, существуют следующие соотношения

(4)

(5)

(6)

Заметим, что положение точки отражения, определяемое модулем магнитного поля в этой точке не зависит от параметров рассматриваемой частицы (если не считать ее начальное положение и начальный питч-угол). Точки отражения определяются исключительно геометрией магнитного поля, если силовые линии являются эквипотенциалями (параллельная составляющая силы отсутствует).

Выше не конкретизировалась конфигурация поля. Теперь рассмотрим простейший случай - дипольное поле, определяемое соотношением

(7)

где - радиус-вектор некоторой точки пространства, где измеряется поле, -вектор магнитного момента точечного магнитного диполя. Тогда модуль напряженности поля вдоль выделенной силовой линии как функция широты равен

(8)

где

(9)

- напряженность поля на экваторе.

Если инжектировать в дипольное поле частицу с экваториальным питч-углом , она будет колебаться вдоль силовой линии между точками отражения, определяемыми (4). Комбинируя (4) и (8) можно определить широту точек отражения, решив (численно) уравнение

(10)

Заметим, что для данного широта не зависит от конкретной силовой линии ( или ). Другими словами, все частицы с данным экваториальным питч-углом отражаются в дипольном поле при одной и той же широте , не связанной с местоположением ведущих силовых линий, на которых они находятся.

Для земного дипольного поля существует верхний предел для величины : точка отражения частицы всегда должна лежать выше земной поверхности (фактически выше плотных слоев атмосферы):

(11)

где определяется формулой

(12).

- это широта на которой силовая линия с параметром пересекает поверхность Земли.

Следовательно, экваториальный питч-угол должен удовлетворять неравенству

(13)

Предельный питч-угол равен половине угла раствора так называемого экваториального конуса потерь: частицы, питч-угол которых лежит внутри конуса потерь, должны погибнуть в плотной атмосфере прежде, чем смогут достичь своей точки отражения. Для силовых линий близких к поверхности Земли , раствор конуса потерь близок к .

Навиваясь на дипольную силовую линию, частица имеет локальный питч-угол , связанный соотношением (4) с экваториальным питч-углом :

(14)

Этот питч-угол растет до при . При удалении частицы от экватора расширяется и конус потерь:

(15)

его угол раствора стремится к при .

Введем понятие направленного потока частиц. Определим направленный поток частиц данного сорта с заданной энергией как число частиц, приходящих с заданного направления в единицу времени. Поток рассматривается в единичном интервале телесного угла и в единичном интервале на поверхности единичной площадки, ориентированной перпендикулярно направлению прихода частиц. В самом общем случае для данного сорта частиц будет функцией энергии , координат , направления прихода и времени :

. (16)

Величина содержит в себе полную информацию относительно распределения частиц в пространстве (), по направлениям скорости () и по энергии () в заданный момент времени. Величина (16) это то, что измерял бы идеальный направленный детектор. В отсутствие взаимодействия между частицами и их группами не должно содержать никакой явной зависимости от времени. Кроме того, при таких условиях поток частиц с некоторого заданного направления равен потоку с противоположного направления:

. (17)

С учетом конечных угловых размеров детекторов вводят и другую величину - всенаправленный поток, который определяют как

. (18)

Последний представляет собой полное число частиц с заданной энергией, которые приходят в единицу времени со всех направлений и пересекают сферу с единичной площадью поверхности. Детектор, скорость счета которого пропорциональна (18), называют всенаправленным детектором.

Рассмотрим свойства направленного и всенаправленного потока. Выберем направление магнитного поля в качестве полярной оси сферической системы координат. Направление прихода определяется двумя углами: питч-углом и азимутальным углом . Если частицы равномерно распределены по фазе циклотронного движения, то в заданной точке поток не будет зависеть от . Это значит, что поток будет функцией только питч-угла частицы. Число частиц с питч-углами в интервале от до , проходящих через точку за 1 с со всех азимутальных направлений , в расчете на единичную площадку, перпендикулярную к направлению прихода и на единичный интервал определяется формулой:

(19)

Изотропным потоком называется такой поток, в котором число приходящих частиц зависит только от угла раствора приемного детектора и не зависит от направления прихода.:

(относительно )

или

(20).

Последнее выражение показывает, что при изотропном распределении одинаковое число частиц приходится на одинаковые интервалы изменения косинуса питч-угла (а не самого питч-угла). Вот почему гистограммы питч-углового распределения обычно строятся для переменной :

(21).

Теперь обратимся к вопросу о том, как направленный поток данной группы частиц изменяется вдоль данной силовой трубки, образованной силовыми линиями от площадки 1 до площадки 2, а также вдоль всей дрейфовой оболочки, образуемой этими частицами. Теорема Лиувилля для захваченных частиц говорит, что плотность частиц в фазовом пространстве остается постоянной вдоль динамической траектории частиц или:

(22а)

Для нерелятивистских частиц можно также написать:

(22б)

Если не меняется во времени, и силовые линии представляют собой эквипотенциали, либо если вообще отсутствуют внешние силы, то

(22в)

Можно показать, что соотношения (22) остаются верны и в любой точке на дрейфовой оболочке.

Каждому питч-углу в заданной точке на силовой линии соответствует некоторое значение питч-угла в экваториальной точке этой силовой линии. Если поле потенциально, то связать и можно, используя (4):

. (23)

Знание питч-углового распределения у экватора позволяет найти питч-угловое распределение и интегральный поток в любой другой точке силовой линии. Это обусловлено тем, что любая частица, колеблющаяся вдоль силовой линии, непременно должна проходить через экваториальную точку.

С использованием приведенного выше равенства можно записать:

(24).

Таким образом, изотропное распределение в экваториальной плоскости приводит к изотропному же распределению всюду вдоль силовой линии.

Поток (24) обрезан при некотором нижнем предельном значении угла , который представляет собой половину угла раствора конуса потерь. Частицы с питч-углами должны были бы отразиться под земной поверхностью или ниже поглощающего слоя атмосферы, а поэтому не могут существовать даже один полный период осцилляций между точками отражений.

Пусть - напряженность поля в точке пересечения с этим поглощающим атмосферным слоем, который, как считается, расположен на высоте 100 км от земной поверхности, тогда для половинного раствора конуса потерь в данной точке получим

(25)

это означает, что

при или

Всенаправленный поток (18) в точке на силовой линии, выраженный в виде функции от локального , запишется следующим образом:

Это выражение можно преобразовать в интеграл от экваториального потока, если учесть (24) и проследить за соответствующими пределами интегрирования:

. (26)

И, наконец, перпендикулярный поток в данной точке на силовой линии связан с формулой

(27)

Формулы (24), (26) и (27) показывают, как по направленному потоку в экваториальной точке можно определить все, что относится к потокам частиц во всех других точках силовой линии.

Соотношение (26) можно преобразовать в интеграл вдоль силовой линии:

(28)

Можно получить и обратное соотношение:

(29)

Если мы знаем всенаправленный поток вдоль всей силовой линии от экватора до земной поверхности, то можем рассчитать и направленный поток (т.е. питч-угловое распределение) у экватора и в любой промежуточной точке с помощью выражений (28) и (29):

Литература.
1. Редерер Х., Динамика радиации, захваченной геомагнитным полем, Мир, М., 1972