Комптон-эффект. Вывод основных соотношений.

Комптон-эффект представляет собой рассеяние гамма-кванта на свободном электроне с потерей энергии. При этом предполагается, что гамма квант имеет до взаимодействия частоту , а электрон неподвижен, после взаимодействия гамма квант имеет частоту и регистрируется под углом по отношению к направлению движения до взаимодействия. Пусть - угол регистрации электрона по отношению к направлению движения первичного гамма-кванта, - его импульс, - масса. В данной задаче требуется найти , и при заданных и .

Будем исходить из того, что взаимодействие гамма-кванта и электрона является существенно неклассической задачей и поэтому будем пользоваться соотношениями из квантовой механики и кинематическими соотношениями специальной теории относительности.

Запишем законы сохранения энергии и импульса для системы, в которую включим первичный гамма-квант, вторичный гамма-квант и электрон. Электрон считается свободным, то есть всеми силами действующими на него извне вышеописанной системы пренебрегаем.

Рассмотрим детально, как записать закон сохранения энергии. Энергия первичного гамма-кванта равна ; электрон до взаимодействия неподвижен, то есть его релятивистская энергия просто равна энергии покоя . После взаимодействия энергия гамма-кванта , а энергия электрона . Таким образом закон сохранения энергии запишется как

(1).

Закон сохранения импульса запишем сразу в проекции на направление движения первичного гамма-кванта и на перпендикулярное ему направление. При этом получим, с учетом того, что импульс гамма-кванта с частотой есть и аналогично для вторичного гамма-кванта:

(2),

(3).

Таким образом, получаем замкнутую систему трех уравнений для трех неизвестных - , и .

Для их решения сначала воспользуемся (2) и (3), чтобы избавиться от . Для этого умножим оба уравнения на и уединим члены с в левой части уравнений:

.

Возведем их в квадрат и сложим почленно, при этом слагаемые с исчезнут вследствие основного тригонометрического тождества:

, откуда упрощая, получим (4).

Вернемся теперь к первому уравнению - оставим корень в правой части:

, возведем и его в квадрат, получится , подставляя в него выражение (4), получим:

.

Раскрывая скобки и приводя подобные члены приходим к выражению вида:

, а из него следующее

(5).

Даже не выражая через можно уже сделать один довольно сильный вывод: при малых углах рассеяния близок к единице, поэтому справа стоит малая величина, то есть и слева мало, значит можно считать что в знаменателе , таким образом выражение (5) преобразуется в . Если обозначить за , а , тогда получим, что , то есть уменьшение энергии гамма-кванта при рассеянии пропорционально квадрату его энергии.

Выражение (5) легко разрешается относительно и при этом получаем

(6),

или для энергии

, (7)

где и - начальная и конечная энергии гамма-квантов.