Силовые линии векторного поля.

Говорят, что в области задано векторное поле, если каждой точке поставлен в соответствие некоторый вектор

Векторные линии – кривые, в каждой точке которых вектор направлен по касательной к кривой.

Векторные линии поля тяготения, электрического и магнитного поля называются силовыми линиями.

Векторные линии поля скоростей называются линиями тока.

Рис.1

Пусть векторная линия, проходящая через точку (см. Рис.1) описывается уравнением где - параметр. Касательный вектор равен

Условие его коллинеарности вектору можно записать как

(1).

где - некоторое число Коллинеарность их можно выразить и соотношением

(2).

Или, умножая на в виде.

(3).

Это уравнение (1, 2 или 3) – дифференциальное уравнение векторных линий в векторной форме и определяет множество векторных линий. Линия, проходящая через заданную точку определяется дополнительным условием

,

где – радиус-вектор точки

Физические векторные поля не зависят от выбора системы координат, вектор определяется модулем и своим направлением.

Уравнение для нахождения силовых линий поля в декартовой системе координат.

Если взять декартову систему координат , то вектор

описывается тремя скалярными функциями – координатами

А дифференциал вектора равен

.

Таким образом,

в декартовой системе координат есть уравнение для нахождения силовых линий поля .

Уравнение для нахождения силовых линий поля в сферической системе координат.

Выведем аналогичное соотношение в сферической системе координат.

Переход от декартовой системы координат к сферической задается формулами

.

Где .

Обозначим касательный вектор

.

Его разложение по трем компонентам, коллинеарным ортам сферической системы координат обозначим

.

причем

.

Вычислим их.

.

Рассмотрим их модули

.

Итак,

,

тогда дифференциал вектора в сферической системе координат равен

.

Вектор

в сферической системе координат.

Таким образом,

в сферической системе координат есть уравнение для нахождения силовых линий поля .

На главную >>>

Выскажите свое мнение тут